satu saluran satu tahap & banyak saluran satu tahap

Struktur Dasar Proses Antrian
Proses antrian pada umumnya dikelompokan kedalam empat struktur dasar menurut sifat – sifat dan pelayanan, salah satunya  yaitu satu jalur satu tahap dan banyak jalur satu tahap :

1. Satu saluran satu tahap
Satu saluran dan satu tahap (single channel single phase) adalah model antrian yang sangat sederhana dimana terdapat satu sisi masuk dan satu sisi keluar. Contoh model antrian ini misalnya : pembelian ticket pada salah satu loket penjualan ticket theater.
2. Banyak saluran satu tahap
Banyak saluran dan satu tahap (multi channel single phase) adalah model antrian yang mempunyai banyak barisan serta hanya satu pelayanan. Contoh model antrian ini misalnya pelayanan potong rambut dimana terdapat lebih dari satu tukang potong rambut.

Formulasi Antrian Single Channel
Suatu model antrian sederhana mempunyai karakteristik sebagai berikut :
1. Waktu datangnya pekerjaan dapat dinyatakan polanya sebagai distribusi Poisson.
2. Waktu pelayanan dapat dinyatakan polanya sebagai distribusi eksponensial.
3. Single fasilitas pelayanan.
4. Disiplin antrian berdasarkan First Come First Served.

Untuk memecahkan masalah antrian yang sederhana formula – formula yang digunakan berdasarkan pada asumsi bahwa l<p, yaitu tingkat pelayanan p harus dapat melebihi tingkat kedatangan pengantri l, dengan demikian semua pengantri akan dapat dilayani jika tidak maka antrian akan semakin panjang sehingga tidak ada solusi keseimbangan.
Rumus dasar model antriannya adalah :
Wq = l (2.12)
p (p-l)
W = 1 (2.13)
p-l
Lq = l2 (2.14)
p (p-l)

L= l (2.15)
p-l

Bilangan Acak
Pengetian Bilangan Acak
Dasar pengembangan studi simulasi adalah kemampuan untuk menghasilkan bilangan acak, dimana suatu bilangan acak mewakili nilai suatu variabel acak yang didistribusikan secara seragam pada (0,1). Bilangan acak semula dihasilkan secara manual atau mekanis dengan menggunakan teknik seperti mesin pemintal, melempar dadu atau mengocok kartu. Sementara pendekatan modern menggunakan komputer agar menghasilkan bilangan acak. Jadi bilangan acak adalah barisan angka Ui (0≤Ui ≤1), yang dihasilkan dari suatu algoritma tertentu (algoritma ini disebut dengan pembangkit bilangan acak atau random number generator).
Pembangkit Bilangan Acak
Pembangkit bilangan acak adalah suatu algoritma untuk dapat menghasilkan urutan – urutan bilangan – bilangan atau barisan bilangan sehingga hasil dari perhitungan menggunakan komputer dengan diketahui distribusinya, yaitu distribusi probabilitas serba sama (uniform) sehingga pemunculan angka – angka dikomputer tersebut secara acak dengan aturan bahwa setiap angka yang muncul dapat digunakan untuk pemunculan angka berikutnya. Maksudnya suatu angka yang diperoleh merupakan angka penentu bagi bilangan acak berikutnya dan angka – angka yang muncul tersebut harus berlainan.
Yang dimaksud dengan probabilitas uniform adalah probabilitas untuk setiap penarikan atau pemunculan bilangan acak harus sama. Beberapa pendekatan untuk menghasilkan bilangan acak antara lain adalah :
Pembangkit Bilangan Acak ADDTIVE
Zi + 1 = (a * Zi + C)
a,c,m : bilangan bulat positif
bilangan acak Ui = Zi / m
Pembangkit Bilangan Acak MULTIPLICATE
Zi + 1 = (a * Zi) mod m
a,m : bilangan bulat positif
bilangan acak Ui = Zi / m

Simulasi Sistem Antrian Pelayanan Tunggal
Pertimbangan suatu sistem pelayanan dimana pelanggan tiba menurut mekanisme statis berturut – turut pada saat pelanggan pertama tiba yang memiliki distribusi Fo (pers. 2.8); sesudah itu, jika seorang pelanggan tiba pada waktu S kemudian waktu sampai kedatangan berikutnya memiliki fungsi distribusi Fs (pers.2.8). Terdapat suatu pelayanan tunggal dan atas kedatangan seorang pelanggan mungkin memasuki pelayanan jika pelayan ini bebas pada saat itu atau lainnya bergabung dengan antrian tunggal jika pelayan tersebut sibuk. Setelah pelayan menyelesaikan pelayanan seorang pelanggan maka ia akan mulai melayani pelanggan yang telah menunggu paling lama jika ada pelanggan yang sedang menunggu tetapi jika tidak ada pelanggan yang sedang menunggu maka pelayanan bebas sampai kedatangan pelanggan berikutnya. Jumlah waktu dibutuhkan untuk melayani seorang pelanggan adalah suatu variabel acak (tidak tergantung pada semua waktu pelayanan yang lain dan pada proses kedatangan) yang memiliki distribusi probabilitas G(pers. 2.11). Sebagai tambahan, terdapat suatu waktu tertentu T sesudah tidak adanya kedatangan tambahan yang diperbolehkan untuk memasuki sistem, meskipun pelayan tersebut telah menyelesaikan pelayanan semua pelanggan yang sudah berada didalam sistem pada waktu T.
Pengantri

Gambar Diagram aktivitas untuk sistem antrian pelayan tunggal
Diagram diatas merupakan diagram aktivitas yang menggambarkan proses distribusi sistem antrian pelayanan tunggal, dimana pengantri akan memasuki sebuah antrian untuk mendapatkan pelayanan yang akan diberikan oleh satu fasilitas pelayanan pada sistem pelayanan dan akan meningkatkan sistem pelayanan setelah diproses dalam sistem.
Dari permodelan sistem yang dapat dilakukan suatu simulasi sistem
untuk menentukan kuantitas dari ciri – ciri operasi sistem antrian yang meliputi :
1. Rata – rata waktu antrian untuk setiap pengantri.
2. Rata – rata lamanya seseorang pengantri diproses dalam sistem.
3. Rata – rata banyaknya seseorang pengantri dalam antrian.
4. Rata – rata banyaknya pengantri dalam sistem.
untuk mengerjakan suatu simulasi dari sistem diatas akan digunakan daftar variabel berikut ini :
1. Rata – rata antar waktu kedatangan (tk)
2. Rata – rata waktu pelayanan (tp)
3. Bilangan acak (Ui)
4. Beda waktu antar kedatangan (A)
5. Waktu datang (B)
6. Lama waktu pelayanan (C)
7. Waktu mulai dilayani (D)
8. Waktu selesai dilayani (E)
9. Lama waktu antri (F)
10. Waktu senggang pelayanan (G)
11. Lama proses dalam sistem (H)
12. Jumlah orang yang akan diestimasi (n)
Setelah menentukan variabel yang digunakan maka akan diperlihatkan bagaimana model diatas dapat disimulasikan, simulasi akan dilakukan untuk setiap pengantri secara satu persatu sampai data yang cukup telah terkumpul. Berikut ini adalah langkah – langkah yang akan dilaksanakan untuk mendapatkan solusi perkiraan dalam menetukan ciri – ciri operasi sistem antrian :
Melalui sebuah observasi, tentukanlah rata – rata waktu kedatangan (tk)
Melalui sebuah observasi, tentukanlah rata – rata waktu pelayanan (tp)
Bangkitkan suatu variabel acak Xo, (Xo adalah waktu kedatangan pelanggan pertama) yang akan menghasilkan bilangan acak Ui sebanyak n
Tentukanlah suatu variabel bilangan acak Yo, (Yo adalah lama pelayanan pelanggan pertama) yang akan menghasilkan bilangan acak Ui sebanyak n
Tentukanlah “beda waktu antara kedatangan” (A) setiap pengantri dengan menggunakan persamaan berikut :
Ai = (-tk ln Ui)………………………….(2.16)
Dengan Ui adalah bilangan acak yang dihasilkan dari pembangkitan variable acak Xo dan tanda () menyatakan pembulatan
Tentukanlah “lama waktu pelayanan” (C) setiap pengantri dengan menggunakan persamaan berikut :
Ci = (-tp ln Ui)……………………………(2.17)
Dengan Ui adalah bilangan acak yang dihasilkan dari pembangkitan variabel acak Yo dan tanda () menyatakan pembulatan
Untuk memudahkan dalam pensimulasian dan perhitungan data – data pelanggan sebaliknya digunakan tabel 2.2 seperti berikut :
Pelanggan ke I Beda waktu antar kedatangan tA(i) Waktu dating tB(i) Lama pelayanan tC(i) Waktu muali dilayani tD(i) Waktu seleai dilayani tE(i) Lama waktu antri tF(i) Waktu senggang pelayanan tG(i) Lama proses dalam sistem tH(i)
1
2
3
…
Total

Tabel 2.2 Tabel perhitungan data – data pengantri
Lakukanlah perhitungan data setiap pengantri satu persatu dimulai dari pengantri pertama lalu diteruskan dengan pengantri berikutnya sampai dipenuhi kondisi tertentu.
Masukankan hasil perhitungan “beda waktu antar kedatangan “ dan “lama
waktu pelayanan” kedalam tabel
Tentukanlah waktu datang masing – masing pelanggan dan ketentuan
seperti berikut ini :
a. “waktu datang” (B) pelanggan pertama sama dengan “beda waktu antara kedatangan pelanggan pertama” (A) karena diasumsikan loket dibuka pada saat t = 0, sehingga B1 = A1
b. “waktu datang” (B) pelanggan berikutnya ditentukan dengan menjumlahkan “waktu datang” (B) pelanggan sebelumnya dengan “beda waktu antar kedatangan” (A) pelanggan berikutnya,
sehingga Bi + 1 = Bi + Ai + 1 ………………………………..(2.18)
Tentukanlah “waktu mulai dilayani” (D) masing – masing pelanggan dengan ketentuan sebagai berikut :
a. “waktu mulai dilayani” (D) pelanggan pertama sama dengan “waktu datang” (B) pelanggan pertama sehingga D1 = B1
b. “waktu mulai dilayani” (D) pelanggan berikutnya sama dengan waktu “waktu selesai dilayani” (E) pelanggan sebelumnya jika “waktu datang” (B) pelanggan tersebut kurang dari “waktu selesai dilayani” (E) pelanggan sebelumnya maka
Di + 1 = Ei jika Bi + 1 ≤ Ei …………………………………(2.19)
c. “waktu mulai dilayani” (D) pelanggan berikutnya sama dengan “waktu datang” (B) pelanggan tersebut jika “waktu datang” (B) pelanggan tersebut lebih besar dari “waktu selesai dilayani” (E) pelanggan sebelumnya sehingga:
Di = Bi jika Bi > Ei – 1 ………………………………………..(2.20)
Tentukanlah “waktu selesai dilayani” (E) dengan menjumlahkan “lama waktu pelayanan” (C) dengan “waktu mulai dilayani” (D) dari masing – masing pelanggan
Ei = Ci + Di …………………………………………………………(2.21)
Tentukanlah “waktu mulai antri” (F) masing – masing pelanggan dengan cara melakukan pengurangan antar “waktu mulai dilayani” (D) dengan “waktu datang” (B), sehingga :
Fi = Di – Bi…………………………………………………………(2.22)
Hitunglah “waktu senggang pelanggan” (G) dengan melakukan pengurangan antar “waktu mulai dilayani” (D) pelanggan berikutnya dengan “waktu selesai dilayani” (E) pelanggan sebelumnya
Gi + 1 = Di + 1 – Ei …………………………………………….(2.23)
Tentukanlah lama proses dalam sistem (H) masing – masing pelanggan dengan cara menjumlahkan “lama waktu antri” (F) dengan “lama waktu pelayanan” (C), sehingga :
Hi = Ci + Fi ……………………………….(2.24)
Hitunglah total lama waktu antri (Ftot) dengan menjumlahkan seluruh “lama waktu antri” (F) masing – masing pelanggan
Ftot= F1 + F2 + … + Fn …………………………………(2.25)
Hitunglah total lama proses dalam sistem (Htot) dengan
Htot = H1 + H2 + … + Hn ………………………………(2.26)
Tentukanlah waktu selesai dilayani pelanggan terakhir (En)

Setalah data – data semua pelanggan terkumpul dapat dikatakan bahwa pelaksanaan simulasi telah diselesaikan dan untuk menetukan suatu kuantitas dari ciri–ciri operasi sistem antrian diatas dapat dilakukan dengan melakukan perhitungan dengan cara sebagai berikut :
perkiraan rata – rata waktu antri setiap pengantri :
total lama waktu antri atau Ftot……………..(2.27)
jumlah pelanggan n
perkiraan rata – rata lamanya pengantri diproses dalam sistem :
total lama proses dalam sistem atau Htot………………(2.28)
jumlah pelanggan n
perkiraan rata – rata banyaknya pengantri dalam antrian:
total lama waktu antri atau Ftot………………(2.29)
waktu selesai dilayani pelanggan terakhir En

perkiraan rata – rata banyaknya pengantri dalam sistem
total lama proses dalam sistem atau Htot………………(2.30)
waktu selesai dilayani pelanggan terakhir En

DAFTAR PUSTAKA
Hiller, Frederick dkk. 2004. Pengantar Riset Operasi.Erlangga:Jakarta. Taha, Hamdy A. 1982. Operation Research Third Edition. Mac Millan Publishing co,inc.